# 使用LaTex表示数学符号 ## 上标与下标 上标与下标分别使用`^`与`_` 例如 `x_i^2 :` $x_i^2$ 上下标符号仅对下一个组起作用，一个组即单个字符或者使用{...}包裹起来的内容, 如果使用`10^10` 将会得到$10^10$, 而`10^{10}` 才是 $10^{10}$ 同时大括号还能消除二义性,如`x^5^6`将得到一个错误，必须使用大括号来界定`^`的结合性, 如`{x^5}^6 :` ${x^5}^6$ ## 括号 1. 小括号与方括号,使用原始的`() []` 即可, 如`(2 + 3)[4 + 4] :` $(2 + 3)[4 + 4]$ 2. 大括号`{}`, 由于大括号被用来分组，所有需要使用`\{ \}`表示大括号, 也可以使用`\lbrace`和`\rbrace`表示: `\brace a * b \rbrace: ` $\lbrace a * b \rbrace$ 3. 尖括号`<>`，使用`\langle`和`\rangle` 表示左尖括号和右尖括号, 如`\langle x \rangle :` $\langle x \rangle$ 注意原始符号并不随着公式大小而缩放,可以使用\left \right来自适应地调整括号的大小 `\lbrace \sum_{i=0}^n i^2 = \frac{(n^2 + n)(2n + 1)}{6} \rbrace\tag{1.1}` $$ \lbrace \sum_{i=0}^n i^2 = \frac{(n^2 + n)(2n + 1)}{6} \rbrace\tag{1.1} $$ `\left \lbrace \sum_{i=0}^n i^2 = \frac{(n^2 + n)(2n + 1)}{6} \right \rbrace\tag{1.2}` $$ \left \lbrace \sum_{i=0}^n i^2 = \frac{(n^2 + n)(2n + 1)}{6} \right \rbrace\tag{1.2} $$ *注: 公式{1.2}的括号是经过缩放的* ## 求和与积分 \sum表示求和符号，其下标表示求和下限，上标表示求和上限。 如 `\sum_1^n :` $\sum_1^n$ \int表示积分符号，其下标表示积分下限，上标表示积分上限, 例: `\int_1^\infty :` $\int_1^\infty$ `\int_{-\infty}^0 :` $\int_{-\infty}^0$ ## 分式与根式 *分式表示方法1:* `\frac {a}{b}`, `\frac`作用于其后面的两个组a,b, 如果分子和分母不是单个字符，则使用`{...}`来分组, 例: `\frac {a}{b}`: $\frac {a}{b}$ *分式表示方法2:* 使用\over来分隔一个组的前后两部分。 例: `{a+1 \over b+1}`: ${a+1 \over b+1}$ *根式表示方法:* 使用\sqrt来表示。 例: `\sqrt[4]{\frac xy} :` $\sqrt [4]{\frac xy}$ ## 字体 1. 使用\mathbb 或者 \Bbb显示黑板粗体字, 这种字体常用来代表实数、整数、有理数， 如 `\mathbb{CHINA} :` $\mathbb{CHINA}$ 2. \mathbf显示黑体字, 如 $\mathbf{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ, abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}$ 3. \mathtt显示打印机字体，如 $\mathtt{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ, abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}$ 4. \mathrm显示罗马字体， 如 $\mathrm{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ, abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}$ 5. \mathscr显示手写字体， 如 $\mathscr{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$ ## 特殊函数与符号 ### 常见的三角函数，求极限。 | $\sin \theta$ | `\sin \theta` | | $\arctan x$ | `\arctan x` | | $\lim_{1\to\infty}$ | `\lim_{1\to\infty}` | ### 比较运算符 | $\lt$ | `\lt` | | $\gt$ | `\gt` | | $\le$ | `\le` | | $\ge$ | `\ge` | | $\neq$ | `\neq` | | $\approx$ | `\approx` | | $\not\lt$ | `\not\lt` | | $\not\gt$ | `\not\gt` | | $\not\le$ | `\not\le` | | $\not\ge$ | `\not\ge` | ### 加减乘除 | $\times$ | `\times` | | $\div$ | `\div` | | $\pm$ | `\pm` | | $\mp$ | `\mp` | | $x \cdot y$ | `\cdot`表示居中的点 | ### 集合关系与运算 | $\cup$ | `\cup` | | $\cap$ | `\cap` | | $\setminus$ | `\setminus` | | $\subset$ | `\subset` | | $\subseteq$ | `\subseteq` | | $\subsetneq$ | `\subsetneq` | | $\supset$ | `\supset` | | $\in$ | `\in` | | $\notin$ | `\notin` | | $\emptyset$ | `\emptyset` | | $\varnothing$ | `\varnothing` | ### 排列组合 `{n+1 \choose 2k}`: ${n+1 \choose 2k}$ ### 箭头 | $\to$ | `\to` | | $\rightarrow$ | `\rightarrow` | | $\leftarrow$ | `\leftarrow` | | $\Rightarrow$ | `\Rightarrow` | | $\Leftarrow$ | `\Leftarrow` | | $\mapsto$ | `\mapsto` | ### 逻辑运算符 | $\land$ | `\land` | | $\lor$ | `\lor` | | $\lnot$ | `\lnot` | | $\forall$ | `\forall` | | $\exists$ | `\exists` | | $\top$ | `\top` | | $\bot$ | `\bot` | | $\vdash$ | `\vdash` | | $\vDash$ | `\vDash` | ### 模运算\pmod | $a \equiv b \pmod n$ | `a \equiv b \pmod n` | ### 其他 | $\star$ | `\star` | | $\ast$ | `\ast` | | $\oplus$ | `\oplus` | | $\circ$ | `\circ` | | $\bullet$ | `\bullet` | | $\approx$ | `\approx` | | $\sim$ | `\sim` | | $\cong$ | `\cong` | | $\equiv$ | `\equiv` | | $\prec$ | `\prec` | | $\infty$ | `\infty` | | $\aleph_o$ | `\aleph_o` | | $\nabla$ | `\nabla` | | $\partial$ | `\partial` | | $\Im$ | `\Lm` | | $\Re$ | `\Re` | ## 空间 `a b` a与b之间不论加多少空格，都会显示为$a b$ 通过`\,`增加少许间隙 通过`\;`增加较宽的间隙 通过`\quad` 或`\qquad`可以增加更宽的间隙 | $a \quad b$ | `a \quad b ` | | $a \qquad b$ | `a \qquad b` | ## 顶部符号 | \hat 例: `\hat x :` | $\hat x$ | | \widehat, 用于多字符, 例: `\widehat {xy}` | $\widehat {xy}$ | | \overline, 例: `\overline {xyz}` | $\overline {xyz}$ | | \vec 例: `\vec a` | $\vec a$ | | \overrightarrow 例: `\overrightarrow b` | $\overrightarrow b$ | | \dot 例: `\dot x` | $\dot x$ | | \ddot 例: `\ddot x` | $\ddot x$ | ## 表格 使用`$$\begin{array}{列样式}...\end{array}$$` 的形式来创建表格 列样式可以是`l r c` 分别表示对齐方式为左对齐、右对齐、居中。 `l r c`可以与`|`合用，表示该列有一条竖线 表格中各行使用`\\\\`分隔, 各列使用&分隔 使用\hline表示在本行前加入一条直线 例1 ``` $$ \begin{array}{c|l|c|r|} n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\\\ \hline 1 & 0.24 & 1 & 125 \\\\ 2 & -1 & 189 & -8 \\\\ 3 & -20 & 2000 & 1+10i \\\\ \end{array} $$ 第一列居中，且有竖线 第二列左对齐，第三列居中，第四列右对齐 由于\需要转义，所以用\\\\表示行分隔 ``` $$ \begin{array}{c|l|c|r|} n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\\\ \hline 1 & 0.24 & 1 & 125 \\\\ 2 & -1 & 189 & -8 \\\\ 3 & -20 & 2000 & 1+10i \\\\ \end{array} $$ 例2 ``` $$ \begin{array}{c|lcr} n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\\\ \hline 1 & 0.24 & 1 & 125 \\\\ 2 & -1 & 189 & -8 \\\\ \hline 3 & -20 & 2000 & 1+10i \\\\ \end{array} $$ ``` $$ \begin{array}{c|lcr} n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\\\ \hline 1 & 0.24 & 1 & 125 \\\\ 2 & -1 & 189 & -8 \\\\ \hline 3 & -20 & 2000 & 1+10i \\\\ \end{array} $$ 例3 ``` 将表格看作是另外一个表格里面的一项内容 下面的例子可以看作一个大表, 最外面一层的表格只有一列，两行 第一列的元素中又有两个子表 第二列的元素有一个子表 $$ \begin{array}{c} \begin{array}{cc} \begin{array}{c|cccc} \text{min} & 0 & 1 & 2 & 3\\\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} & \begin{array}{c|cccc} \text{max}&0&1&2&3\\\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 2 & 2 & 2 & 3\\\\ 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \end{array} \end{array} \\\\ \begin{array}{c|cccc} \Delta&0&1&2&3\\\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2\\\\ 2 & 2 & 1 & 0 & 1\\\\ 3 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array} \end{array} $$ ``` $$ \begin{array}{c} \begin{array}{cc} \begin{array}{c|cccc} \text{min} & 0 & 1 & 2 & 3\\\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} & \begin{array}{c|cccc} \text{max}&0&1&2&3\\\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 2 & 2 & 2 & 3\\\\ 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \end{array} \end{array} \\\\ \begin{array}{c|cccc} \Delta&0&1&2&3\\\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2\\\\ 2 & 2 & 1 & 0 & 1\\\\ 3 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array} \end{array} $$ ## 矩阵 和表格类似，使用`\begin{matrix}...\end{matrix}`的形式来表示矩阵, 矩阵的行采用`\\\\`分隔, 列之间使用`&`分隔 例: ``` $$ \begin{matrix} 1 & x & x^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ \end{matrix} $$ ``` $$ \begin{matrix} 1 & x & x^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ \end{matrix} $$ 给矩阵加括号: 使用\left与\right配合表示括号符号,也可以使用特殊的matrix 即替换`\begin{matrix}...\end{matrix}`中的matrix为 pmatrix,bmatrix,Bmatrix,vmatrix,Vmatrix pmatrix: $$ \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ \end{pmatrix} $$ bmatrix: $$ \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ \end{bmatrix} $$ Bmatrix: $$ \begin{Bmatrix} 1 & x & x^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ \end{Bmatrix} $$ vmatrix: $$ \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ \end{vmatrix} $$ Vmatrix: $$ \begin{Vmatrix} 1 & x & x^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ \end{Vmatrix} $$ 省略元素: 可以使用如下符号来省略矩阵中的元素 `\cdots :` $\cdots$ `\ddots :` $\ddots$ `\vdots :` $\vdots$ 例: ``` $$ \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^n \\\\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^n \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 1 & a_m & a_m^2 & \cdots & a_m^n \end{pmatrix} $$ ``` $$ \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^n \\\\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^n \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 1 & a_m & a_m^2 & \cdots & a_m^n \end{pmatrix} $$ ## 对齐的公式 将一系列推导过程中的等号对齐, 使用类似与表格的功能 ``` \begin{align}...\end{align} 使用$来指示需要对齐的位置 例: $$ \begin{align} \sqrt {37} & = \sqrt{\frac{73^2 - 1}{12^2}} \\\\ & = \sqrt{\frac{73^2}{12^2} \cdot \frac{73^2 - 1}{73^2}} \\\\ & = \sqrt{\frac{73^2}{12^2}} \sqrt {\frac{73^2 - 1}{73^2}} \\\\ & = \frac{73}{12} \sqrt{1 - \frac{1}{73^2}} \\\\ & \approx \frac{73}{12} \left(1 - \frac{1}{2 \cdot 73^2}\right) \end{align} $$ ``` $$ \sqrt {37} = \sqrt{\frac{73^2 - 1}{12^2}} \\\\ = \sqrt{\frac{73^2}{12^2} \cdot \frac{73^2 - 1}{73^2}} \\\\ = \sqrt{\frac{73^2}{12^2}} \sqrt {\frac{73^2 - 1}{73^2}} \\\\ = \frac{73}{12} \sqrt{1 - \frac{1}{73^2}} \\\\ \approx \frac{73}{12} \left(1 - \frac{1}{2 \cdot 73^2}\right) $$ ## 分段函数 ``` 使用 \begin{cases}...\end{cases} 的形式 & 指示需要对齐的位置 例: $$ f(n) = \begin{cases} n/2 & \text{ (if n is even) } \\\\ 3n+1 & \text{ (if n is odd) } \\\\ \end{cases} $$ ``` $$ f(n) = \begin{cases} n/2 & \text{ (if n is even) } \\\\ 3n+1 & \text{ (if n is odd) } \\\\ \end{cases} $$ ## 查询数学符号 通过`\LaTex` 手写符号识别系统查询 [Detexify](http://detexify.kirelabs.org/classify.html "Detexify")